动态规划3️⃣：背包问题

Channing Hsu
  2024-07-17 17:55:49 2024-07-17 17:55:49 创建   2024-12-03 01:50:49 2024-12-03 01:50:49 更新      5.2k 字  21 分钟  

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01 背包

有n件物品和一个最多能背重量为w的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

暴力解法:

每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是，这里的n表示物品数量。所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！

二维dp数组01背包

在下面的讲解中，举一个例子：

背包最大重量为4。物品为：

重量 价值
物品0 1 15
物品1 3 20
物品2 4 30

问背包能背的物品最大价值是多少？

  1. 确定dp数组以及下标的含义

使用动态规划来求解，核心在于理解如何通过前 i-1 件物品来推导出前 i 件物品的最大价值，我们定义 dp[i][j]为前 i 件物品在总重量不超过 j 的情况下可以获得的最大价值。即从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。如图：

20210110103003361

  1. 确定递推公式

  • 不放物品i：假设我们不选择第 i 件物品，那么此时的最大价值应该等于前 i-1 件物品在总重量不超过 j 的情况下的最大价值。也就是说，我们不考虑第 i 件物品，背包的状态和价值完全取决于前 i-1 件物品。

    状态转移方程：dp[i][j] = dp[i-1][j]

  • 放物品i：如果选择第 i 件物品，则我们需要确保背包剩余的容量可以容纳第 i 件物品。第 i 件物品的重量为 weight[i-1]。选择了第 i 件物品后，我们需要在剩余的容量 j - weight[i-1] 中计算前 i-1 件物品的最大价值，然后加上第 i 件物品的价值 value[i-1]。

    状态转移方程：dp[i][j] = dp[i-1][j-weight[i-1]] + value[i-1]

在每一步决策时，我们要么选择第 i 件物品，要么不选择。我们需要在这两种选择中取最大值，以确保当前状态下的最大价值。

  • 综合状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i-1]] + value[i-1])
  1. dp数组如何初始化

首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：

2021011010304192

在看其他情况。

状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j]应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

代码初始化如下：

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for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) { 
   // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。
    dp[0][j] = 0;
}
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}

此时dp数组初始化情况如图所示：20210110103109140

dp[0][j]和 dp[i][0]都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？

其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);可以看出dp[i][j]是由左上方数值推导出来了，那么其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。

初始-1，初始-2，初始100，都可以！

但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。

如图：动态规划-背包问题10

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// 初始化 dp
vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}
  1. 确定遍历顺序

在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量

2021011010314055

那么问题来了，先遍历 物品还是先遍历背包重量呢？

其实都可以！！ 但是先遍历物品更好理解。

那么我先给出先遍历物品，然后遍历背包重量的代码。

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// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

先遍历背包，再遍历物品，也是可以的！（注意我这里使用的二维dp数组）

例如这样：

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// weight数组的大小 就是物品个数
for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

为什么也是可以的呢？

要理解递归的本质和递推的方向。

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。

dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向（包括正上方向），那么先遍历物品，再遍历背包的过程如图所示：

202101101032124

再来看看先遍历背包，再遍历物品呢，如图：20210110103244701

大家可以看出，虽然两个for循环遍历的次序不同，但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角，根本不影响dp[i][j]公式的推导！

但先遍历物品再遍历背包这个顺序更好理解。

其实背包问题里，两个for循环的先后循序是非常有讲究的，理解遍历顺序其实比理解推导公式难多了。

  1. 举例推导dp数组

来看一下对应的dp数组的数值，如图：

20210118163425129

最终结果就是dp[2][4]。

建议大家此时自己在纸上推导一遍，看看dp数组里每一个数值是不是这样的。

做动态规划的题目，最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下，然后在动手写代码！

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//二维dp数组实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, bagweight;// bagweight代表行李箱空间
void solve() {
    vector<int> weight(n, 0); // 存储每件物品所占空间
    vector<int> value(n, 0);  // 存储每件物品价值
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> weight[i];
    }
    for(int j = 0; j < n; ++j) {
        cin >> value[j];
    }
    // dp数组, dp[i][j]代表行李箱空间为j的情况下,从下标为[0, i]的物品里面任意取,能达到的最大价值
    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));

    // 初始化, 因为需要用到dp[i - 1]的值
    // j < weight[0]已在上方被初始化为0
    // j >= weight[0]的值就初始化为value[0]
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历科研物品
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历行李箱容量
            // 如果装不下这个物品,那么就继承dp[i - 1][j]的值
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            // 如果能装下,就将值更新为 不装这个物品的最大值 和 装这个物品的最大值 中的 最大值
            // 装这个物品的最大值由容量为j - weight[i]的包任意放入序号为[0, i - 1]的最大值 + 该物品的价值构成
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}

int main() {
    while(cin >> n >> bagweight) {
        solve();
    }
    return 0;
}

一维dp数组（滚动数组）

二维动态规划解法

在二维动态规划中，我们定义 dp[i][j] 为从前 i 件物品中任意选择，放入容量为 j 的背包中，所能获得的最大价值。

递推公式如下：
dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]] + value[i])

这个公式的意思是，对于第 i 件物品，有两种选择：

  1. 不选第 i 件物品，最大价值是 dp[i-1][j]。
  2. 选第 i 件物品，最大价值是 dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]。

滚动数组优化

在二维数组的基础上，可以发现如果我们把 dp[i-1] 层拷贝到 dp[i] 层，表达式完全可以变成：
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-weight[i]] + value[i])

  1. 确定dp数组的定义

​ 在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

  1. 一维动态规划的递推公式

    dp[j]为 容量为j的背包所背的最大价值，那么如何推导dp[j]呢？

    dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。

    dp[j - weight[i]] + value[i]表示 容量为 j- 物品i重量的背包加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）

    此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j]相当于二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，

所以递归公式为：

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dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

这公式表示，对于容量为 j 的背包，如果选择第 i 件物品，那么最大价值是 dp[j - weight[i]] + value[i]。如果不选择，则最大价值是 dp[j]。

  1. 一维动态规划的初始化

​ dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0] 应该初始化为 0，表示容量为 0 的背包，所能装的最大价值是 0。其他 dp[j] 初始化为 0，因为我们假设物品价值为正数，初始值为 0 可以确保我们在递推时不会被初始值影响。

  1. 一维动态规划的遍历顺序

​ 为了确保每件物品只使用一次，背包容量 j 的遍历顺序应为从大到小。具体代码如下：

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for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。

倒序遍历是为了确保每件物品只使用一次。如果采用正序遍历，会导致一个物品在同一轮次中被多次选取，下面通过具体例子解释这一点。

假设有一个物品 0，其重量 weight[0] = 1，价值 value[0] = 15，初始的 dp 数组为 [0, 0, 0, 0, 0]。

正序遍历的示例

若正序遍历背包容量，从小到大进行：

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for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) {
    dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}

  • 更新 dp[1]:

    更新后的 dp 数组为 [0, 15, 0, 0, 0]

  • 更新 dp[2]:

    更新后的 dp 数组为 [0, 15, 30, 0, 0]

可以看到，当更新 dp[2] 时，已经更新过的 dp[1] 的值（15）被用来计算 dp[2]，使得 dp[2] 的值变成了 30。这意味着物品 0 被认为可以再次放入背包中，这就导致了物品 0 被重复放入，产生了错误的结果。

倒序遍历的示例

若倒序遍历背包容量，从大到小进行：

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for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) {
    dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}

  • 更新 dp[2]:

    更新后的 dp 数组为 [0, 0, 15, 0, 0]

  • 更新 dp[1]:

    更新后的 dp 数组为 [0, 15, 15, 0, 0]

通过倒序遍历，我们确保在更新 dp[j] 时，使用的是前一轮次的值，而不是本轮次中已经更新过的值。这样就能避免重复选取同一个物品。

为什么二维 DP 不需要倒序遍历？

在二维 DP 中，我们更新 dp[i][j] 时，是基于上一层 dp[i-1][j] 的值，当前层 dp[i][j] 的更新不会影响到同层的其他值。也就是说，在更新 dp[i][j] 时，不会用到当前层 dp[i][j] 以外的其他值，因此可以从小到大进行正序遍历。

总结来说，倒序遍历在一维 DP 中的关键作用是防止同一物品在一轮次中被重复选取，而在二维 DP 中，由于当前层的更新不会影响到其他同层值，所以可以采用正序遍历。

再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？

不可以！

因为一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历，如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。

倒序遍历的原因是，本质上还是一个对二维数组的遍历，并且右下角的值依赖上一层左上角的值，因此需要保证左边的值仍然是上一层的，从右向左覆盖。

所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的！，这一点大家一定要注意。

  1. 举例推导

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以背包容量 N = 4，物品为 [{1, 15}, {3, 20}, {4, 30}] 为例：

  1. 初始化 dp = [0, 0, 0, 0, 0]
  2. 遍历物品 0（重量 1，价值 15）：
    • 更新 dp[4] = max(dp[4], dp[3] + 15) = 15
    • 更新 dp[3] = max(dp[3], dp[2] + 15) = 15
    • 更新 dp[2] = max(dp[2], dp[1] + 15) = 15
    • 更新 dp[1] = max(dp[1], dp[0] + 15) = 15

更新后的 dp 数组为 [0, 15, 15, 15, 15]

  1. 遍历物品 1（重量 3，价值 20）：

    • 更新 dp[4] = max(dp[4], dp[1] + 20) = 35
    • 更新 dp[3] = max(dp[3], dp[0] + 20) = 20

    更新后的 dp 数组为 [0, 15, 15, 20, 35]

  2. 遍历物品 2（重量 4，价值 30）：

    • 更新 dp[4] = max(dp[4], dp[0] + 30) = 35

    更新后的 dp 数组为 [0, 15, 15, 20, 35]

最终，dp[4] 即为背包容量为 4 时能装入的最大价值，为 35。

代码如下：

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// 一维dp数组实现
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    // 读取 M 和 N
    int M, N;
    cin >> M >> N;

    vector<int> costs(M);
    vector<int> values(M);

    for (int i = 0; i < M; i++) {
        cin >> costs[i];
    }
    for (int j = 0; j < M; j++) {
        cin >> values[j];
    }

    // 创建一个动态规划数组dp，初始值为0
    vector<int> dp(N + 1, 0);

    // 外层循环遍历每个类型的研究材料
    for (int i = 0; i < M; ++i) {
        // 内层循环从 N 空间逐渐减少到当前研究材料所占空间
        for (int j = N; j >= costs[i]; --j) {
            // 考虑当前研究材料选择和不选择的情况，选择最大值
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - costs[i]] + values[i]);
        }
    }

    // 输出dp[N]，即在给定 N 行李空间可以携带的研究材料最大价值
    cout << dp[N] << endl;

    return 0;
}

总结

以上的讲解可以开发一道面试题目（毕竟力扣上没原题）。

就是本文中的题目，要求先实现一个纯二维的01背包，如果写出来了，然后再问为什么两个for循环的嵌套顺序这么写？反过来写行不行？再讲一讲初始化的逻辑。

然后要求实现一个一维数组的01背包，最后再问，一维数组的01背包，两个for循环的顺序反过来写行不行？为什么？

注意以上问题都是在候选人把代码写出来的情况下才问的。

就是纯01背包的题目，都不用考01背包应用类的题目就可以看出候选人对算法的理解程度了。

完全背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

与01背包不同的就是，每种物品有无限件。

举个例子：背包最大重量为4。物品为：

重量 价值
物品0 1 15
物品1 3 20
物品2 4 30

每件商品都有无限个！

问背包能背的物品最大价值是多少？

首先回顾一下 01 背包的核心代码：

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for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。

而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：

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// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

dp状态图如下：

动态规划-完全背包

为什么遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环？

01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。

在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！

因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。

遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：

动态规划-完全背包2

遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：

20210729234011

看了这两个图，大家就会理解，完全背包中，两个for循环的先后循序，都不影响计算dp[j]所需要的值（这个值就是下标j之前所对应的dp[j]）。

本题力扣上没有原题，可以去卡码网第52题去练习，题意是一样的，C++代码如下：

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#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// 先遍历背包，再遍历物品
void test_CompletePack(vector<int> weight, vector<int> value, int bagWeight) {

    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);

    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
        for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
            if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    int N, V;
    cin >> N >> V;
    vector<int> weight;
    vector<int> value;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        int w;
        int v;
        cin >> w >> v;
        weight.push_back(w);
        value.push_back(v);
    }
    test_CompletePack(weight, value, V);
    return 0;
}

总结

对于纯完全背包问题，其for循环的先后循环是可以颠倒的！但如果题目稍稍有点变化，就会体现在遍历顺序上。

如果问装满背包有几种方式的话？ 那么两个for循环的先后顺序就有很大区别了，而leetcode上的题目都是这种稍有变化的类型。

这个区别，我将在后面讲解具体leetcode题目中给大家介绍，因为这块如果不结合具题目，单纯的介绍原理估计很多同学会越看越懵！

最后，又可以出一道面试题了，就是纯完全背包，要求先用二维dp数组实现，然后再用一维dp数组实现，最后再问，两个for循环的先后是否可以颠倒？为什么？

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目录
动态规划3️⃣：背包问题
  1. 01 背包
    1. 二维dp数组01背包
    2. 一维dp数组（滚动数组）
    3. 总结
  2. 完全背包
  3. 总结