动态规划 5️⃣

Channing Hsu

518.零钱兑换II

力扣题目链接

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。
示例 1:

  • 输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]**
  • 输出: 4

解释:有四种方式可以凑成总金额:

  • 5=5
  • 5=2+2+1
  • 5=2+1+1+1
  • 5=1+1+1+1+1

示例 2:

  • 输入: amount = 3, coins = [2]
  • 输出: 0
  • 解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。

示例 3:

  • 输入: amount = 10, coins = [10]
  • 输出: 1

注意,你可以假设:

  • 0 <= amount (总金额) <= 5000
  • 1 <= coin (硬币面额) <= 5000
  • 硬币种类不超过 500 种
  • 结果符合 32 位符号整数

思路

这是一道典型的背包问题,一看到钱币数量不限,就知道这是一个完全背包。

但本题和纯完全背包不一样,纯完全背包是凑成背包最大价值是多少,而本题是要求凑成总金额的物品组合个数!

注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数,为什么强调是组合数呢?

例如示例一:

5 = 2 + 2 + 1

5 = 2 + 1 + 2

这是一种组合,都是 2 2 1。

如果问的是排列数,那么上面就是两种排列了。

组合不强调元素之间的顺序,排列强调元素之间的顺序。 其实这一点我们在讲解回溯算法专题的时候就讲过了哈。

那我为什么要介绍这些呢,因为这和下文讲解遍历顺序息息相关!

回归本题,动规五步曲来分析如下:

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]:凑成总金额j的货币组合数为dp[j]

  1. 确定递推公式

dp[j]就是所有的dp[j - coins[i]](考虑coins[i]的情况)相加。

所以递推公式:dp[j] += dp[j - coins[i]];

这个递推公式大家应该不陌生了,我在讲解01背包题目的时候在这篇494. 目标和中就讲解了,求装满背包有几种方法,公式都是:dp[j] += dp[j - nums[i]];

  1. dp数组如何初始化

首先dp[0]一定要为1,dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话,后面所有推导出来的值都是0了。

那么 dp[0] = 1 有没有含义,其实既可以说 凑成总金额0的货币组合数为1,也可以说 凑成总金额0的货币组合数为0,好像都没有毛病。

但题目描述中,也没明确说 amount = 0 的情况,结果应该是多少。

这里我认为题目描述还是要说明一下,因为后台测试数据是默认,amount = 0 的情况,组合数为1的。

下标非0的dp[j]初始化为0,这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]

dp[0]=1还说明了一种情况:如果正好选了coins[i]后,也就是j-coins[i] == 0的情况表示这个硬币刚好能选,此时dp[0]为1表示只选coins[i]存在这样的一种选法。

  1. 确定遍历顺序

本题中我们是外层for循环遍历物品(钱币),内层for遍历背包(金钱总额),还是外层for遍历背包(金钱总额),内层for循环遍历物品(钱币)呢?

之前讲解了完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的。但本题就不行了!

因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少,和凑成总和的元素有没有顺序没关系,即:有顺序也行,没有顺序也行!

而本题要求凑成总和的组合数,元素之间明确要求没有顺序。

所以纯完全背包是能凑成总和就行,不用管怎么凑的。

本题是求凑出来的方案个数,且每个方案个数是为组合数。

那么本题,两个for循环的先后顺序可就有说法了。

我们先来看 外层for循环遍历物品(钱币),内层for遍历背包(金钱总额)的情况。

代码如下:

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for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}

假设:coins[0] = 1,coins[1] = 5。

那么就是先把1加入计算,然后再把5加入计算,得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。

所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数!

如果把两个for交换顺序,代码如下:

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5
for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}

背包容量的每一个值,都是经过 1 和 5 的计算,包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。

此时dp[j]里算出来的就是排列数!

可能这里很多同学还不是很理解,建议动手把这两种方案的dp数组数值变化打印出来,对比看一看!(实践出真知)

  1. 举例推导dp数组

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ,dp状态图如下:

518.零钱兑换II

最后红色框dp[amount]为最终结果。

以上分析完毕,C++代码如下:

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class Solution {
public:
int change(int amount, vector<int>& coins) {
vector<int> dp(amount + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
return dp[amount];
}
};
  • 时间复杂度: ,其中 m 是amount,n 是 coins 的长度
  • 空间复杂度:

总结

本题的递推公式,其实我们在494. 目标和中就已经讲过了,而难点在于遍历顺序!

在求装满背包有几种方案的时候,认清遍历顺序是非常关键的。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包

如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品

可能说到排列数录友们已经有点懵了,后面Carl还会安排求排列数的题目,到时候在对比一下,大家就会发现神奇所在!

377. 组合总和 Ⅳ

力扣题目链接

难度:中等

给定一个由正整数组成且不存在重复数字的数组,找出和为给定目标正整数的组合的个数。

示例:

  • nums = [1, 2, 3]
  • target = 4

所有可能的组合为:
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)

请注意,顺序不同的序列被视作不同的组合。

因此输出为 7。

思路

对完全背包还不了解的同学,可以看这篇:动态规划:关于完全背包,你该了解这些!

本题题目描述说是求组合,但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合,其实就是求排列!

弄清什么是组合,什么是排列很重要。

组合不强调顺序,(1,5)和(5,1)是同一个组合。

排列强调顺序,(1,5)和(5,1)是两个不同的排列。

大家在公众号里学习回溯算法专题的时候,一定做过这两道题目回溯算法:39.组合总和回溯算法:40.组合总和II会感觉这两题和本题很像!

但其本质是本题求的是排列总和,而且仅仅是求排列总和的个数,并不是把所有的排列都列出来。

如果本题要把排列都列出来的话,只能使用回溯算法爆搜

动规五部曲分析如下:

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]

  1. 确定递推公式

dp[i](考虑nums[j])可以由 dp[i - nums[j]](不考虑nums[j]) 推导出来。

因为只要得到nums[j],排列个数dp[i - nums[j]],就是dp[i]的一部分。

动态规划:494.目标和动态规划:518.零钱兑换II中我们已经讲过了,求装满背包有几种方法,递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];

本题也一样。

  1. dp数组如何初始化

因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故,dp[0]要初始化为1,这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础。

至于dp[0] = 1 有没有意义呢?

其实没有意义,所以我也不去强行解释它的意义了,因为题目中也说了:给定目标值是正整数! 所以dp[0] = 1是没有意义的,仅仅是为了推导递推公式。

至于非0下标的dp[i]应该初始为多少呢?

初始化为0,这样才不会影响dp[i]累加所有的dp[i - nums[j]]。

  1. 确定遍历顺序

个数可以不限使用,说明这是一个完全背包。

得到的集合是排列,说明需要考虑元素之间的顺序。

本题要求的是排列,那么这个for循环嵌套的顺序可以有说法了。

动态规划:518.零钱兑换II 中就已经讲过了。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包

如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品

如果把遍历nums(物品)放在外循环,遍历target的作为内循环的话,举一个例子:计算dp[4]的时候,结果集只有 {1,3} 这样的集合,不会有{3,1}这样的集合,因为nums遍历放在外层,3只能出现在1后面!

所以本题遍历顺序最终遍历顺序:target(背包)放在外循环,将nums(物品)放在内循环,内循环从前到后遍历

  1. 举例来推导dp数组

我们再来用示例中的例子推导一下:

377.组合总和Ⅳ

如果代码运行处的结果不是想要的结果,就把dp[i]都打出来,看看和我们推导的一不一样。

以上分析完毕,C++代码如下:

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class Solution {
public:
int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
vector<int> dp(target + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包
for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍历物品
if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) {
dp[i] += dp[i - nums[j]];
}
}
}
return dp[target];
}
};

  • 时间复杂度: O(target * n),其中 n 为 nums 的长度
  • 空间复杂度: O(target)

C++测试用例有两个数相加超过int的数据,所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。

但java就不用考虑这个限制,java里的int也是四个字节吧,也有可能leetcode后台对不同语言的测试数据不一样。

总结

求装满背包有几种方法,递归公式都是一样的,没有什么差别,但关键在于遍历顺序!

本题与动态规划:518.零钱兑换II就是一个鲜明的对比,一个是求排列,一个是求组合,遍历顺序完全不同。

如果对遍历顺序没有深度理解的话,做这种完全背包的题目会很懵逼,即使题目刷过了可能也不太清楚具体是怎么过的。

此时大家应该对动态规划中的遍历顺序又有更深的理解了。

70. 爬楼梯(进阶版)

卡码网:57. 爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?

注意:给定 n 是一个正整数。

输入描述:输入共一行,包含两个正整数,分别表示n, m

输出描述:输出一个整数,表示爬到楼顶的方法数。

输入示例:3 2

输出示例:3

提示:

当 m = 2,n = 3 时,n = 3 这表示一共有三个台阶,m = 2 代表你每次可以爬一个台阶或者两个台阶。

此时你有三种方法可以爬到楼顶。

  • 1 阶 + 1 阶 + 1 阶段
  • 1 阶 + 2 阶
  • 2 阶 + 1 阶

思路

之前讲这道题目的时候,因为还没有讲背包问题,所以就只是讲了一下爬楼梯最直接的动规方法(斐波那契)。

这次终于讲到了背包问题,我选择带录友们再爬一次楼梯!

这道题目 我们在动态规划:爬楼梯 中已经讲过一次了,这次我又给本题加点料,力扣上没有原题,所以可以在卡码网57. 爬楼梯上来刷这道题目。

我们之前做的 爬楼梯 是只能至多爬两个台阶。

这次改为:一步一个台阶,两个台阶,三个台阶,…,直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?

这又有难度了,这其实是一个完全背包问题。

1阶,2阶,… m阶就是物品,楼顶就是背包。

每一阶可以重复使用,例如跳了1阶,还可以继续跳1阶。

问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。

此时大家应该发现这就是一个完全背包问题了!

和昨天的题目动态规划:377. 组合总和 Ⅳ基本就是一道题了。

动规五部曲分析如下:

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]:爬到有i个台阶的楼顶,有dp[i]种方法

  1. 确定递推公式

动态规划:494.目标和动态规划:518.零钱兑换II动态规划:377. 组合总和 Ⅳ中我们都讲过了,求装满背包有几种方法,递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];

本题呢,dp[i]有几种来源,dp[i - 1],dp[i - 2],dp[i - 3] 等等,即:dp[i - j]

那么递推公式为:dp[i] += dp[i - j]

  1. dp数组如何初始化

既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j],那么dp[0] 一定为1,dp[0]是递归中一切数值的基础所在,如果dp[0]是0的话,其他数值都是0了。

下标非0的dp[i]初始化为0,因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的,dp[i]本身为0这样才不会影响结果

  1. 确定遍历顺序

这是背包里求排列问题,即:1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶,但是这两种方法不一样!

所以需将target放在外循环,将nums放在内循环。

每一步可以走多次,这是完全背包,内循环需要从前向后遍历。

以上分析完毕,C++代码如下:

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#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
int n, m;
while (cin >> n >> m) {
vector<int> dp(n + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包
for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品
if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];
}
}
cout << dp[n] << endl;
}
}
  • 时间复杂度: O(n * m)
  • 空间复杂度: O(n)

代码中m表示最多可以爬m个台阶,代码中把m改成2就是 力扣:70.爬楼梯的解题思路。

总结

本题看起来是一道简单题目,稍稍进阶一下其实就是一个完全背包!

如果我来面试的话,我就会先给候选人出一个 本题原题,看其表现,如果顺利写出来,进而在要求每次可以爬[1 - m]个台阶应该怎么写。

顺便再考察一下两个for循环的嵌套顺序,为什么target放外面,nums放里面。

这就能考察对背包问题本质的掌握程度,候选人是不是刷题背公式,一眼就看出来了。

这么一连套下来,如果候选人都能答出来,相信任何一位面试官都是非常满意的。

本题代码不长,题目也很普通,但稍稍一进阶就可以考察完全背包,而且题目进阶的内容在leetcode上并没有原题,一定程度上就可以排除掉刷题党了,简直是面试题目的绝佳选择!

322. 零钱兑换

力扣题目链接

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额,返回 -1。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1:

  • 输入:coins = [1, 2, 5], amount = 11
  • 输出:3
  • 解释:11 = 5 + 5 + 1

示例 2:

  • 输入:coins = [2], amount = 3
  • 输出:-1

示例 3:

  • 输入:coins = [1], amount = 0
  • 输出:0

示例 4:

  • 输入:coins = [1], amount = 1
  • 输出:1

示例 5:

  • 输入:coins = [1], amount = 2
  • 输出:2

提示:

  • 1 <= coins.length <= 12
  • 1 <= coins[i] <= 2^31 - 1
  • 0 <= amount <= 10^4

思路

动态规划:518.零钱兑换II中我们已经兑换一次零钱了,这次又要兑换,套路不一样!

题目中说每种硬币的数量是无限的,可以看出是典型的完全背包问题。

动规五部曲分析如下:

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]:凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]

  1. 确定递推公式

凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]],那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j](考虑coins[i])

所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。

递推公式:dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

  1. dp数组如何初始化

首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0,那么dp[0] = 0;

其他下标对应的数值呢?

考虑到递推公式的特性,dp[j]必须初始化为一个最大的数,否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。

所以下标非0的元素都是应该是最大值。

代码如下:

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vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
  1. 确定遍历顺序

本题求钱币最小个数,那么钱币有顺序和没有顺序都可以,都不影响钱币的最小个数

所以本题并不强调集合是组合还是排列。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包

如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品

在动态规划专题我们讲过了求组合数是动态规划:518.零钱兑换II,求排列数是动态规划:377. 组合总和 Ⅳ

所以本题的两个for循环的关系是:外层for循环遍历物品,内层for遍历背包或者外层for遍历背包,内层for循环遍历物品都是可以的!

那么我采用coins放在外循环,target在内循环的方式。

本题钱币数量可以无限使用,那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序

综上所述,遍历顺序为:coins(物品)放在外循环,target(背包)在内循环。且内循环正序。

  1. 举例推导dp数组

以输入:coins = [1, 2, 5], amount = 5为例

322.零钱兑换

dp[amount]为最终结果。

以上分析完毕,C++ 代码如下:

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// 版本一
class Solution {
public:
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过
dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
}
}
}
if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
return dp[amount];
}
};
  • 时间复杂度: O(n * amount),其中 n 为 coins 的长度
  • 空间复杂度: O(amount)

对于遍历方式遍历背包放在外循环,遍历物品放在内循环也是可以的,我就直接给出代码了

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// 版本二
class Solution {
public:
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i <= amount; i++) { // 遍历背包
for (int j = 0; j < coins.size(); j++) { // 遍历物品
if (i - coins[j] >= 0 && dp[i - coins[j]] != INT_MAX ) {
dp[i] = min(dp[i - coins[j]] + 1, dp[i]);
}
}
}
if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
return dp[amount];
}
};
  • 同上

总结

细心的同学看网上的题解,可能看一篇是遍历背包的for循环放外面,看一篇又是遍历背包的for循环放里面,看多了都看晕了,到底两个for循环应该是什么先后关系。

能把遍历顺序讲明白的文章几乎找不到!

这也是大多数同学学习动态规划的苦恼所在,有的时候递推公式很简单,难在遍历顺序上!

但最终又可以稀里糊涂的把题目过了,也不知道为什么这样可以过,反正就是过了。

那么这篇文章就把遍历顺序分析的清清楚楚。

动态规划:518.零钱兑换II中求的是组合数,动态规划:377. 组合总和 Ⅳ中求的是排列数。

而本题是要求最少硬币数量,硬币是组合数还是排列数都无所谓!所以两个for循环先后顺序怎样都可以!

这也是我为什么要先讲518.零钱兑换II 然后再讲本题即:322.零钱兑换,这是Carl的良苦用心那。

相信大家看完之后,对背包问题中的遍历顺序有更深的理解了。

279.完全平方数

力扣题目链接

给定正整数 n,找到若干个完全平方数(比如 1, 4, 9, 16, …)使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

给你一个整数 n ,返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。

完全平方数 是一个整数,其值等于另一个整数的平方;换句话说,其值等于一个整数自乘的积。例如,1、4、9 和 16 都是完全平方数,而 3 和 11 不是。

示例 1:

  • 输入:n = 12
  • 输出:3
  • 解释:12 = 4 + 4 + 4

示例 2:

  • 输入:n = 13
  • 输出:2
  • 解释:13 = 4 + 9

提示:

  • 1 <= n <= 10^4

思路

可能刚看这种题感觉没啥思路,又平方和的,又最小数的。

我来把题目翻译一下:完全平方数就是物品(可以无限件使用),凑个正整数n就是背包,问凑满这个背包最少有多少物品?

动规五部曲分析如下:

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[j]:和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]

  1. 确定递推公式

dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出, dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。

此时我们要选择最小的dp[j],所以递推公式:dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);

  1. dp数组如何初始化

dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量,那么dp[0]一定是0。

有同学问题,那0 * 0 也算是一种啊,为啥dp[0] 就是 0呢?

看题目描述,找到若干个完全平方数(比如 1, 4, 9, 16, …),题目描述中可没说要从0开始,dp[0]=0完全是为了递推公式。

非0下标的dp[j]应该是多少呢?

从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的,所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值,这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖

  1. 确定遍历顺序

我们知道这是完全背包,

如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品。

动态规划:322. 零钱兑换中我们就深入探讨了这个问题,本题也是一样的,是求最小数!

所以本题外层for遍历背包,内层for遍历物品,还是外层for遍历物品,内层for遍历背包,都是可以的!

我这里先给出外层遍历背包,内层遍历物品的代码:

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vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
}
}

  1. 举例推导dp数组

已输入n为5例,dp状态图如下:

279.完全平方数

dp[0] = 0
dp[1] = min(dp[0] + 1) = 1
dp[2] = min(dp[1] + 1) = 2
dp[3] = min(dp[2] + 1) = 3
dp[4] = min(dp[3] + 1, dp[0] + 1) = 1
dp[5] = min(dp[4] + 1, dp[1] + 1) = 2

最后的dp[n]为最终结果。

以上动规五部曲分析完毕C++代码如下:

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// 版本一
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
}
}
return dp[n];
}
};
  • 时间复杂度:
  • 空间复杂度: O(n)

同样我在给出先遍历物品,在遍历背包的代码,一样的可以AC的。

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// 版本二
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i * i <= n; i++) { // 遍历物品
for (int j = i * i; j <= n; j++) { // 遍历背包
dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
}
}
return dp[n];
}
};
  • 同上

总结

如果大家认真做了昨天的题目动态规划:322. 零钱兑换,今天这道就非常简单了,一样的套路一样的味道。

但如果没有按照代码随想录的题目顺序来做的话,做动态规划或者做背包问题,上来就做这道题,那还是挺难的!

经过前面的训练这道题已经是简单题了

139.单词拆分

力扣题目链接

给定一个非空字符串 s 和一个包含非空单词的列表 wordDict,判定 s 是否可以被空格拆分为一个或多个在字典中出现的单词。

说明:

拆分时可以重复使用字典中的单词。

你可以假设字典中没有重复的单词。

示例 1:

  • 输入: s = “leetcode”, wordDict = [“leet”, “code”]
  • 输出: true
  • 解释: 返回 true 因为 “leetcode” 可以被拆分成 “leet code”。

示例 2:

  • 输入: s = “applepenapple”, wordDict = [“apple”, “pen”]
  • 输出: true
  • 解释: 返回 true 因为 “applepenapple” 可以被拆分成 “apple pen apple”。
  • 注意你可以重复使用字典中的单词。

示例 3:

  • 输入: s = “catsandog”, wordDict = [“cats”, “dog”, “sand”, “and”, “cat”]
  • 输出: false

思路

看到这道题目的时候,大家应该回想起我们之前讲解回溯法专题的时候,讲过的一道题目回溯算法:分割回文串,就是枚举字符串的所有分割情况。

回溯算法:分割回文串:是枚举分割后的所有子串,判断是否回文。

本道是枚举分割所有字符串,判断是否在字典里出现过。

那么这里我也给出回溯法C++代码:

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class Solution {
private:
bool backtracking (const string& s, const unordered_set<string>& wordSet, int startIndex) {
if (startIndex >= s.size()) {
return true;
}
for (int i = startIndex; i < s.size(); i++) {
string word = s.substr(startIndex, i - startIndex + 1);
if (wordSet.find(word) != wordSet.end() && backtracking(s, wordSet, i + 1)) {
return true;
}
}
return false;
}
public:
bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
unordered_set<string> wordSet(wordDict.begin(), wordDict.end());
return backtracking(s, wordSet, 0);
}
};
  • 时间复杂度:,因为每一个单词都有两个状态,切割和不切割
  • 空间复杂度:,算法递归系统调用栈的空间

那么以上代码很明显要超时了,超时的数据如下:

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2
"aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaab"
["a","aa","aaa","aaaa","aaaaa","aaaaaa","aaaaaaa","aaaaaaaa","aaaaaaaaa","aaaaaaaaaa"]

递归的过程中有很多重复计算,可以使用数组保存一下递归过程中计算的结果。

这个叫做记忆化递归,这种方法我们之前已经提过很多次了。

使用memory数组保存每次计算的以startIndex起始的计算结果,如果memory[startIndex]里已经被赋值了,直接用memory[startIndex]的结果。

C++代码如下:

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class Solution {
private:
bool backtracking (const string& s,
const unordered_set<string>& wordSet,
vector<bool>& memory,
int startIndex) {
if (startIndex >= s.size()) {
return true;
}
// 如果memory[startIndex]不是初始值了
// 直接使用memory[startIndex]的结果
if (!memory[startIndex]) return memory[startIndex];
for (int i = startIndex; i < s.size(); i++) {
string word =
s.substr(startIndex, i - startIndex + 1);
if (wordSet.find(word) != wordSet.end() && backtracking(s, wordSet, memory, i + 1)) {
return true;
}
}
// 记录以startIndex开始的子串是不可以被拆分的
memory[startIndex] = false;
return false;
}
public:
bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
unordered_set<string> wordSet(wordDict.begin(), wordDict.end());
vector<bool> memory(s.size(), 1); // -1 表示初始化状态
return backtracking(s, wordSet, memory, 0);
}
};

这个时间复杂度其实也是:。只不过对于上面那个超时测试用例优化效果特别明显。

这个代码就可以AC了,当然回溯算法不是本题的主菜,背包才是!

背包问题

单词就是物品,字符串s就是背包,单词能否组成字符串s,就是问物品能不能把背包装满。

拆分时可以重复使用字典中的单词,说明就是一个完全背包!

动规五部曲分析如下:

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i] : 字符串长度为i的话,dp[i]为true,表示可以拆分为一个或多个在字典中出现的单词

  1. 确定递推公式

如果确定dp[j] 是true,且 [j, i] 这个区间的子串出现在字典里,那么dp[i]一定是true。(j < i )。

所以递推公式是 if([j, i] 这个区间的子串出现在字典里 && dp[j]是true) 那么 dp[i] = true。

  1. dp数组如何初始化

从递推公式中可以看出,dp[i] 的状态依靠 dp[j]是否为true,那么dp[0]就是递推的根基,dp[0]一定要为true,否则递推下去后面都都是false了。

那么dp[0]有没有意义呢?

dp[0]表示如果字符串为空的话,说明出现在字典里。

但题目中说了“给定一个非空字符串 s” 所以测试数据中不会出现i为0的情况,那么dp[0]初始为true完全就是为了推导公式。

下标非0的dp[i]初始化为false,只要没有被覆盖说明都是不可拆分为一个或多个在字典中出现的单词。

  1. 确定遍历顺序

题目中说是拆分为一个或多个在字典中出现的单词,所以这是完全背包。

还要讨论两层for循环的前后顺序。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包

如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品

我在这里做一个总结:

求组合数:动态规划:518.零钱兑换II
求排列数:动态规划:377. 组合总和 Ⅳ动态规划:70. 爬楼梯进阶版(完全背包)
求最小数:动态规划:322. 零钱兑换动态规划:279.完全平方数

而本题其实我们求的是排列数,为什么呢。 拿 s = “applepenapple”, wordDict = [“apple”, “pen”] 举例。

“apple”, “pen” 是物品,那么我们要求 物品的组合一定是 “apple” + “pen” + “apple” 才能组成 “applepenapple”。

“apple” + “apple” + “pen” 或者 “pen” + “apple” + “apple” 是不可以的,那么我们就是强调物品之间顺序

所以说,本题一定是 先遍历 背包,再遍历物品。

  1. 举例推导dp[i]

以输入: s = “leetcode”, wordDict = [“leet”, “code”]为例,dp状态如图:

139.单词拆分

dp[s.size()]就是最终结果。

动规五部曲分析完毕,C++代码如下:

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class Solution {
public:
bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
unordered_set<string> wordSet(wordDict.begin(), wordDict.end());
vector<bool> dp(s.size() + 1, false);
dp[0] = true;
for (int i = 1; i <= s.size(); i++) { // 遍历背包
for (int j = 0; j < i; j++) { // 遍历物品
string word = s.substr(j, i - j); //substr(起始位置,截取的个数)
if (wordSet.find(word) != wordSet.end() && dp[j]) {
dp[i] = true;
}
}
}
return dp[s.size()];
}
};
  • 时间复杂度:,因为substr返回子串的副本是O(n)的复杂度(这里的n是substring的长度)
  • 空间复杂度:O(n)

拓展

关于遍历顺序,再给大家讲一下为什么 先遍历物品再遍历背包不行。

这里可以给出先遍历物品再遍历背包的代码:

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class Solution {
public:
bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
unordered_set<string> wordSet(wordDict.begin(), wordDict.end());
vector<bool> dp(s.size() + 1, false);
dp[0] = true;
for (int j = 0; j < wordDict.size(); j++) { // 物品
for (int i = wordDict[j].size(); i <= s.size(); i++) { // 背包
string word =
s.substr(i - wordDict[j].size(), wordDict[j].size());
// cout << word << endl;
if ( word == wordDict[j] && dp[i - wordDict[j].size()]) {
dp[i] = true;
}
// for (int k = 0; k <= s.size(); k++) cout << dp[k] << " "; //这里打印 dp数组的情况
// cout << endl;
}
}
return dp[s.size()];

}
};

使用用例:s = “applepenapple”, wordDict = [“apple”, “pen”],对应的dp数组状态如下:

最后dp[s.size()] = 0 即 dp[13] = 0 ,而不是1,因为先用 “apple” 去遍历的时候,dp[8]并没有被赋值为1 (还没用"pen"),所以 dp[13]也不能变成1。

除非是先用 “apple” 遍历一遍,再用 “pen” 遍历,此时 dp[8]已经是1,最后再用 “apple” 去遍历,dp[13]才能是1。

如果大家对这里不理解,建议可以把我上面给的代码,拿去力扣上跑一跑,把dp数组打印出来,对着递推公式一步一步去看,思路就清晰了。

总结

本题和我们之前讲解回溯专题的回溯算法:分割回文串非常像,所以我也给出了对应的回溯解法。

稍加分析,便可知道本题是完全背包,是求能否组成背包,而且这里要求物品是要有顺序的。

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